Движение тел относительно друг друга. Задача “погоня”

Рассмотрим теперь, как будет выглядеть решение задачи “погоня” при использовании системы отсчета, связанной с одним из движущихся тел.

Диспетчер, взглянув на монитор, увидел, что за паровозом, движущимся со скоростью |vп| = 60 км/ч, следует электровоз со скоростью |vэ| = 90 км/ч. Через какое время tд электровоз догонит паровоз, если расстояние между ними в начальный момент l = 120 км?

Шаг 1. Введем систему отсчета следующим образом. В качестве тела отсчета выберем электровоз. Координатную ось X направим от электровоза вдоль железнодорожного

полотна в направлении к паровозу. За единицу длины примем 1 км.

Часы включим в момент, когда диспетчер взглянул на монитор и увидел картину, изображенную на рис. 41.

движение поезда в системе отсчета, связанной с догоняющим его электровозом

Шаг 2. В выбранной системе отсчета электровоз неподвижен, и его координата в начальный момент и все последующие моменты времени равна xэ0 = xэ = 0. Начальная координата паровоза в выбранной системе отсчета xп0

= l = 120 км.

Шаг 3. Определим значение скорости движении паровоза в выбранной системе отсчета, учитывая, что в ней: 1) Земля движется навстречу электровозу, т. е. в отрицательном направлении координатной оси X; 2) модуль скорости этого движения равен данному в задаче модулю скорости движения электровоза относительно Земли |vэ| = 90 км/ч.

Следовательно, значение скорости Земли в выбранной системе отсчета Vз = -90 км/ч. Модуль скорости паровоза относительно Земли по условию задачи |vп| = 60 км/ч. Отметим, что эта скорость направлена в положительном направлении оси X, т. е. за каждый час паровоз проезжает по Земле 60 км в положительном направлении оси X.

При атом за тот же час Земля, по которой едет паровоз, проходит 90 км в противоположном (т. е. отрицательном) направлении оси X. Следовательно, за каждый час координата паровоза изменяется на (60 – 90) км = -30 км. Иначе говоря, паровоз за каждый час приближается к электровозу на 30 км.

Таким образом, в нашей системе отсчета паровоз движется в отрицательном направлении оси X со скоростью, имеющей значение Vп = -30 км/ч.

С точки зрения сложения значений скоростей это выглядит следующим образом (см. рис. 41). К положительному значению скорости паровоза относительно Земли vп = 60 км/ч прибавляется отрицательное значение скорости Земли в выбранной системе отсчета Vз = -90 км/ч. В результате значение скорости паровоза в системе отсчета, связанной с электровозом:

Vп = 60 + (-90) = -30 (км/ч).

Шаг 4. Запишем законы движения паровоза и электровоза:

Xп = xп0 + Vп – t = 120 – 30 – t, xэ = xэ0 = 0.

Шаг 5. Напишем уравнение, выражающее условие окончания погони:

Xп = xэ.

Шаг 6. Объединим полученные уравнения, присвоив каждому номер и название:

Xп = 120 – 30 – t, (1) (закон движения паровоза) xэ = 0, (2) (закон движения электровоза) xп = xэ. (3) (условие окончания погони)

Шаг 7. Решим полученные уравнения, подставив в условие окончания погони – уравнение (3) – координаты xп и xэ из уравнений (1) и (2):

120 – 30 – t = 0, tд = t = 120/30 = 4 (ч).

Таким образом, электровоз догонит паровоз через 4 часа после того, как диспетчер взглянул на монитор.

Итоги

При выборе начала отсчета, связанного с одним из движущихся тел, решение задач “встреча” и “погоня” резко упрощается, так как фактически эти задачи сводятся к задаче о движении одного тела.

Упражнения

1. Объясните приведенное на рис. 42 графическое решение задачи “погоня” электровоза за паровозом. Ответьте на вопросы:

графики зависимости координат паровоза и электровоза от времени

А) каким цветом на графике изображены законы движения: электровоза; паровоза? б) чему равна начальная координата в системе отсчета, связанной с электровозом: у электровоза; у паровоза? в) чему равно значение скорости в системе отсчета, связанной с электровозом: электровоза; паровоза?

г) где на графике находится точка окончания погони? В какой момент времени после начала погони происходит встреча? д) какой знак будет иметь координата паровоза в момент времени t = 5 ч после начала погони, если движение тел будет продолжаться?

Чему она будет равна?

2. Используя рис. 43, решите задачу о погоне электровоза за паровозом, рассмотренную в этом параграфе, выбрав систему отсчета, начало которой совпадает с паровозом, а координатная ось X совпадает с направлением скорости паровоза относительно Земли.

погоня в системе отсчета другого тела

Прежде чем начать решать задачу, ответьте на вопросы: а) положительна или отрицательна начальная координата электровоза? Чему она равна? б) с какой скоростью (в каком направлении) движется Земля в указанной системе отсчета?

в) чему равно в указанной системе отсчета значение скорости электровоза?

3. Объясните подробно приведенное ниже в общем виде решение задачи об электровозе, догоняющем паровоз, в системе отсчета, связанной с электровозом, начиная со второго шага.

Шаг 2. xэ0 = 0, xп0 = l. Шаг 3. Vп = vп + Vз = vп – vэ. Шаги 4, 5, 6. xп = l + (vп – vэ) – t, (1) xэ = 0, (2) xп = xэ. (3)

Шаг 7. l + (vп – vэ) – t = 0, tд = t = l / (vэ – vп).

4. Проведите анализ полученного в предыдущей задаче результата, т, е. выполните шаг 8. Ответьте на вопрос чему равно значение скорости сближения электровоза и паровоза?



Движение тел относительно друг друга. Задача “погоня”