Решение задач кинематики. Задача “обгон”



Рассмотрим еще одну очень важную с практической точки зрения задачу. Пусть по прямой двухполосной дороге едут грузовик с прицепом и легковой автомобиль. Модули их скоростей равны соответственно |vг| = 20 м/с и |vл| = 30 м/с.

Известно, что длина легкового автомобиля l1 = 5 м, а грузовик вместе с прицепом имеет длину l2 = 35 м. При этом легковой автомобиль, значение скорости которого больше, совершает обгон грузовика. Эта ситуация изображена на рис. 31.

обгон грузовика легковым автомобилем

Из сказанного ясно,



что в задаче “обгон” принципиальную роль играют размеры тел. Поэтому для описания движения грузовика и легковушки нам надо выбрать конкретные точки этих тел. Кроме того, необходимо установить, какие моменты времени являются началом и окончанием обгона.

Моментом начала обгона (положение I) мы будем называть тот момент времени, когда самая передняя точка A (“нос”) легкового автомобиля поравнялась с самой задней точкой B (“хвостом”) прицепа грузовика. Моментом окончания обгона назовем тот момент времени, когда точка C (” хвост” ) легкового автомобиля поравняется с точкой D (“носом”)

грузовика. Этот момент соответствует положению II на рис.

31.

Спрашивается: 1. В течение какого промежутка времени будет происходить обгон? 2. Какие расстояния проедут за время обгона легковой автомобиль и грузовик?

Чтобы ответить на поставленные вопросы, воспользуемся аналитическим методом решения кинематических задач.

Шаг 1. Введем систему отсчета (рис. 32). В качестве начала отсчета выберем камень, лежащий на обочине дороги напротив того места, где поравнялись точки A и B в момент начала обгона. Координатную ось X направим от этого камня параллельно дороге в сторону движения машин.

В качестве единицы длины выберем 1 м. Часы (секундомер) включим в момент начала обгона.

система отсчета для движения двух тел при обгоне

По условию задачи грузовик и легковой автомобиль имеют конкретные размеры. Поэтому мы не можем считать наши тела точечными. Значит, для описания движения этих тел надо на каждом из них выбрать конкретные точки и далее следить за движением этих точек. В качестве точки, характеризующей положение легкового автомобиля, выберем точку A (его “нос”).

Для описания положения грузовика с прицепом выберем точку D (соответственно “нос” грузовика). Теперь, если мы будем говорить, что координата легкового автомобиля равна, например, нулю, то это значит, что равна нулю координата его “носа” – точки A. А если мы скажем, что координата грузовика равна, например, сорока метрам, значит, говорится о координате “носа” грузовика – точке D. То есть мы будем следить за движением “носов” обоих движущихся тел.

Шаг 2. Определим начальные координаты точек A и D, которые характеризуют положение соответственно легкового автомобиля и грузовика с прицепом. Из рис. 32 видно, что xA0 = 0, а xD0 = l2 = 35 м. Таким образом, в момент начала обгона “нос” грузовика опережает “нос” легкового автомобиля ровно на длину грузовика с прицепом l2 = 35 м.

Шаг 3. В условии задачи даны модули скоростей легкового автомобиля и грузовика относительно дороги. При этом в выбранной системе отсчета координаты обоих тел увеличиваются. Следовательно, значения их скоростей положительны и равны соответственно vл = 30 м/с и vг = 20 м/с.

Шаг 4. Напишем зависимости координат, точек A и D, от времени в выбранной системе отсчета:

XA = xA0 + vл – t = 0 + 30 – t, xD = xD0 + vг – t = l2 + vг – t = 35 + 20 – t.

Шаг 5. Представим в виде уравнения условие окончания обгона. Если мы внимательно посмотрим на рис. 32 (положение II), то поймем, что обгон закончится в тот момент времени, когда координата “носа” легкового автомобиля xA станет больше координаты “носа” грузовика xD ровно на величину длины легкового автомобиля l1 = 5 м. Иначе говоря, “хвост” легкового автомобиля поравняется с “носом” грузовика. Значит, в момент окончания обгона (при t = tоб)

XA = xD + l1 = xD + 5.

Шаг 6. Запишем вместе полученные нами выражения, присвоив каждому из них номер и название:

XA = 0 + 30 – t, (1) (закон движения “носа” легкового автомобиля) xD = 35 + 20 – t, (2) (закон движения “носа” грузовика) xA = xD + 5. (3) (условие окончания обгона)

Шаг 7. Решение уравнений.

Для нахождения момента времени, соответствующего окончанию обгона, подставим в уравнение (3) выражения для xA и xD из уравнений (1) и (2):

0 + 30 – t = 35 + 20 – t + 5, 30 – t – 20 – t = 35 + 5, t = (35 + 5) / (30 – 20) = 4 (с).

Таким образом, через время tоб = 4 с после включения секундомера обгон будет завершен.

Найдем, какое расстояние прошел за это время “нос” легкового автомобиля (точка A). Для этого определим его координату в момент времени t = 4 с. Подставив данное значение времени в закон движения точки A, получим:

XA = 0 + 30 – t = 0 + 30 – 4 = 120 (м).

Так как начальная координата точки A xA0 = 0, “нос” автомобиля за время обгона прошел расстояние lA = 120 м.

Теперь определим, какое расстояние за время совершения обгона легковым автомобилем прошел грузовик. Для этого найдем координату его “носа” (точки D) в момент окончания обгона. Подставив значение времени окончания обгона t = 4 с в закон движения точки D, получим:

XD = 35 + 20 – 4= 115 (м).

Так как начальная координата “носа” грузовика равнялась xD0 = 35 м, то грузовик за время обгона прошел расстояние

LD = xD – xD0 = 115 – 35 = 80 (м).

Таким образом, разность пройденных “носом” легкового автомобиля (точкой A) и “носом” грузовика (точкой D) расстояний lA – lD = 120 – 80 = 40 (м), что составляет сумму длин обгоняемого и обгоняющего тел:

L1 + l2 = 5 + 35 = 40 (м).

Упражнения 1. Решите данную задачу “обгон” табличным способом. Для этого, используя записанные в шаге 4 законы движения легкового автомобиля и грузовика, заполните таблицу.

табличный способ решения задачи

2. Используя данные, полученные в предыдущем упражнении, или законы движения тел (шаг 4), постройте графики зависимости от времени координат точек A и D, характеризующих положения легкового автомобиля и грузовика. Укажите на графике точку (время и координату), в которой завершился процесс обгона.

3. Определите, в течение какого времени автобус длиной la = 20 м, движущийся с постоянной скоростью |va| = 35 м/с, будет обгонять грузовик длиной lг = 25 м, если скорость грузовика не изменяется и равна |vг| = 30 м/с. Задачу решите: а) аналитическим; б) табличным; в) графическим способами.

4. Зависит ли время обгона грузовика легковым автомобилем от размеров (длины) этих транспортных средств? Если зависит, то как?



Решение задач кинематики. Задача “обгон”