Сложение скоростей и переход в другую систему отсчета при движении вдоль одной прямой



1. Сложение скоростей

В некоторых задачах рассматривается движение тела относительно другого тела, которое также движется в выбранной системе отсчета. Рассмотрим пример.

По реке плывет плот, а по плоту идет человек в направлении течения реки – в том направлении, куда плывет плот (рис. 3.1, а). Используя установленный на плоту столб, можно отмечать как перемещение плота относительно берега, так и перемещение человека относительно плота.

Обозначим вектор скоростиЧп скорость человека относительно



плота, а вектор скоростиПб – скорость плота относительно берега. (Обычно принимают, что скорость плота относительно берега равна скорости течения реки. Скорость и перемещение тела 1 относительно тела 2 мы будем обозначать с помощью двух индексов: первый индекс относится к телу 1, а второй – к телу 2. Например, вектор скорости12 обозначает скорость тела 1 относительно тела 2.) сложение перемещений и скоростей

Рассмотрим перемещения человека и плота за некоторый промежуток времени t.

Обозначим

вектор перемещенияПб перемещение плота относительно берега, а вектор перемещенияЧп – перемещение человека относительно плота (рис. 3.1, б).

Векторы перемещений изображены на рисунках пунктирными стрелками, чтобы отличить их от векторов скоростей, изображенных сплошными стрелками.

Перемещение вектор перемещенияЧб человека относительно берега равно векторной сумме перемещения человека относительно плота и перемещения плота относительно берега (рис. 3.1, в):

вектор перемещенияЧб = вектор перемещенияПб + вектор перемещенияЧп (1)

Свяжем теперь перемещения со скоростями и промежутком времени t. Мы получим:

вектор перемещенияЧп = вектор скоростиЧпt, (2) вектор перемещенияПб = вектор скоростиПбt, (3) вектор перемещенияЧб = вектор скоростиЧбt, (4)

Где вектор перемещенияЧб – скорость человека относительно берега. Подставляя формулы (2-4) в формулу (1), получаем:

вектор скоростиЧбt = вектор скоростиПбt + вектор скоростиЧпt.

Сократим обе части этого уравнения на t и получим:

вектор скоростиЧб = вектор скоростиПб + вектор скоростиЧп. (5)

Правило сложение скоростей

Соотношение (5) представляет собой правило сложения скоростей. Оно является следствием сложения перемещений (см. рис. 3.1, в, внизу). В общем виде правило сложения скоростей выглядит так:

вектор скорости1 = вектор скорости12 + вектор скорости2. (6)

Где вектор скорости1 и вектор скорости2 – скорости тел 1 и 2 в одной и той же системе отсчета, а вектор скорости12 – скорость тела 1 относительно тела 2.

Итак, скорость вектор скорости1 тела 1 в данной системе отсчета равна векторной сумме скорости вектор скорости12 тела 1 относительно тела 2 и скорости вектор скорости2 тела 2 в той же системе отсчета.

В рассмотренном выше примере скорость человека относительно плота и скорость плота относительно берега были направлены одинаково. Рассмотрите теперь случай, когда они направлены противоположно, Не забудьте, что скорости надо складывать по правилу сложения векторов!

? 1. Человек идет по плоту против течения (рис. 3.2). Сделайте в тетради чертеж, с помощью которого можно найти скорость человека относительно берега.

Масштаб для вектора скорости: две клетки соответствуют 1 м/с.

Уметь складывать скорости необходимо при решении задач, в которых рассматривается движение лодок или судов по реке или полет самолета при наличии ветра. При этом текущую воду или движущийся воздух можно представлять себе как “плот”, который движется с постоянной скоростью относительно земли, “неся” на себе суда, самолеты и пр.

Например, скорость плывущей по реке лодки относительно берега равна векторной сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки.

? 2. Скорость моторной лодки относительно воды равна 8 км/ч, а скорость течения равна 4 км/ч. За сколько времени лодка проплывет от пристани А до пристани Б и обратно, если расстояние между ними 12 км?

? 3. От пристани А одновременно отплыли плот и моторная лодка. За то время, пока лодка доплыла до пристани Б, плот проплыл треть этого расстояния. а) Во сколько раз скорость лодки относительно воды больше скорости течения? б) Во сколько раз время движения лодки из Б в А больше, чем время ее движения из А в Б?

? 4. Самолет пролетел из города М в город Н за 1,5 ч при попутном ветре. Обратный перелет при встречном ветре занял 1 ч 50 мин. Скорость самолета относительно воздуха и скорость ветра оставались постоянными. а) Во сколько раз скорость самолета относительно воздуха больше скорости ветра?

б) Сколько времени занял бы перелет из М в Н в безветренную погоду?

2. Переход в другую систему отсчета

Проследить за движением двух тел намного проще, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из этих тел. Тело, с которым связана система отсчета, покоится относительно нее, поэтому следить надо только за другим телом.

Рассмотрим примеры.

Моторная лодка обгоняет плывущий по реке плот. Через час после этого она разворачивается и плывет обратно. Скорость лодки относительно воды 8 км/ч, скорость течения 2 км/ч.

Через какое время после разворота лодка встретит плот?

Если решать эту задачу в системе отсчета, связанной с берегом, то пришлось бы следить за движением двух тел – плота и лодки, да еще учесть при этом, что скорость лодки относительно берега зависит от скорости течения.

Если же перейти в систему отсчета, связанную с плотом, то плот и река “остановятся”: ведь плот движется по реке как раз со скоростью течения. Поэтому в этой системе отсчета все происходит как в озере, где течения нет: лодка плывет от плота и к плоту с одинаковой по модулю скоростью! И раз она удалялась в течение часа, то через час она приплывет обратно.

Как видим, для решения задачи не понадобились ни скорость течения, ни скорость лодки.

? 5. Проезжая под мостом на лодке, человек уронил в воду соломенную шляпу. Через полчаса он обнаружил пропажу, поплыл обратно и нашел плывущую шляпу на расстоянии 1 км от моста. Сначала лодка плыла по течению и ее скорость относительно воды была равна 6 км/ч.

Перейдите в систему отсчета, связанную со шляпой (рис. 3.3), и ответьте на следующие вопросы. а) Сколько времени человек плыл к шляпе?

б) Чему равна скорость течения? в) Какая информация в условии не нужна для ответа на эти вопросы?

3.3

? 6. По прямой дороге со скоростью 1 м/с идет пешая колонна длиной 200 м. Находящийся во главе колонны командир посылает всадника с поручением к замыкающему. Через сколько времени всадник вернется обратно, если он скачет со скоростью 9 м/с?

Выведем общую формулу для нахождения скорости тела в системе отсчета, связанной с другим телом. Воспользуемся для этого правилом сложения скоростей.

Напомним, что оно выражается формулой

вектор скорости1 = вектор скорости2 + вектор скорости12, (7)

Где вектор скорости12 – скорость тела 1 относительно тела 2.

Перепишем формулу (1) в виде

вектор скорости12 = вектор скорости1 – вектор скорости2, (8)

Где вектор скорости12 – скорость тела 1 в системе отсчета, связанной с телом 2.

Эта формула позволяет найти скорость вектор скорости12 тела 1 относительно тела 2, если известны скорость вектор скорости1 тела 1 и скорость вектор скорости2 тела 2.

? 7. На рисунке 3.4 изображены три автомобиля, скорости которых даны в масштабе: двум клеткам соответствует скорость 10 м/с. Найдите: а) скорость синего и фиолетового автомобилей в системе отсчета, связанной с красным автомобилем; б) скорость синего и красного автомобилей в системе отсчета, связанной с фиолетовым автомобилем; в) скорость красного и фиолетового автомобилей в системе отсчета, связанной с синим автомобилем; г) какая (какие) из найденных скоростей наибольшая по модулю? наименьшая?

Дополнительные вопросы и задания

8. Человек прошел по плоту длиной b и вернулся в начальную точку. Скорость человека относительно плота все время направлена вдоль реки и равна по модулю vч, а скорость течения равна vт. Найдите выражение для пути, пройденного человеком относительно берега, если: а) сначала человек шел по направлению течения; б) сначала человек шел в направлении, противоположном течению (рассмотрите все возможные случаи!).

в) Найдите весь путь, пройденный человеком относительно берега: 1) при b = 30 м, vч = 1,5 м/с, vт = 1 м/с; 2) при b = З0 м, vч = 0,5 м/с, vт = 1 м/с.

9. Пассажир идущего поезда заметил, что мимо его окна промчались две встречные электрички с интервалом 6 мин. С каким интервалом они проехали мимо станции2 Скорость поезда 100 км/ч, скорость электричек 60 км/ч.

10. Два человека одновременно начали спуск на эскалаторе. Первый стоял на одной ступеньке. С какой скоростью шел по эскалатору второй, если он спустился в 3 раза быстрее, чем первый?

Скорость эскалатора 0,5 м/с.

11. На эскалаторе 100 ступеней. Идущий вниз по эскалатору человек насчитал 80 ступеней. Во сколько раз скорость человека больше скорости эскалатора?

12. От пристани А одновременно отправились плот и моторная лодка. Пока плот доплыл до пристани Б, лодка сплавала от А до Б и обратно. Расстояние АБ равно 10 км. а) Во сколько раз скорость лодки относительно воды больше скорости течения?

б) Какое расстояние проплыл плот, когда: 1) лодка доплыла до Б? 2) плот встретил лодку, плывущую обратно?

13. Самый быстрый зверь – гепард (рис. 3.5): он может мчаться со скоростью 30 м/с, но не более одной минуты. Гепард заметил антилопу, находящуюся от него на расстоянии 500 м. С какой скоростью должна бежать антилопа, чтобы спастись?



Сложение скоростей и переход в другую систему отсчета при движении вдоль одной прямой