Задачи “разгон” и “торможение”

При кажущемся изобилии задач на прямолинейное равноускоренное движение все они могут быть сведены к задачам двух типов. Для этого необходимо выбрать ось X таким образом, чтобы ее положительное направление совпадало с направлением движения тела. В этом случае все задачи сводятся либо к задаче “разгон” (если a > 0), либо к задаче “торможение” (если a

Задача “Разгон”

Гоночный автомобиль трогается с места, набирая скорость 30 м/с (108 км/ч) за время t = 6 с. Определите пройденный автомобилем за это время путь, считая движение автомобиля

равноускоренным.

Решение.

Используем известную нам схему решения кинематических задач.

Шаг 1. Свяжем координатную ось X с дорогой, по которой разгоняется автомобиль. Начало отсчета поместим в то место, откуда автомобиль начинает разгон. Ось X направим по ходу движения автомобиля, как показано на рис. 59.

В качестве единицы выберем 1 м. Включим часы (секундомер) в момент начала разгона.

разгон автомобиля

Шаг 2. Определим в выбранной

нами системе отсчета начальную координату автомобиля – x0 = 0.

Шаг 3. По условию начальная скорость автомобиля v0 = 0. Так как направление ускорения совпадает с положительным направлением оси X, то значение ускорения a будет положительным.

Шаг 4. Запишем зависимость координаты от времени при прямолинейном равноускоренном движении автомобиля с учетом данных задачи:

X = x0 + v0 – t + (a – t2) / 2 = 0 + 0 + (a – t2) / 2 = (a – t2) / 2.

Шаг 4* (новый). Запишем зависимость значения скорости автомобиля от времени:

V = v0 + a – t = 0 + a – t = a – t.

Из этого выражения видно, что при положительном значении ускорения скорость автомобиля увеличивается со временем. При этом за каждую секунду значение скорости возрастает на величину, равную a – 1 (м/с).

Шаг 5. Условие окончания разгона до скорости vк имеет вид:

V = vк.

Шаг 6. Объединим составленные уравнения, присвоив каждому номер и название:

X = (a – t2) / 2, (1) (закон движения автомобиля) v = a – t, (2) (зависимость скорости от времени) v = vк. (3) (условие окончания разгона)

Шаг 7. Решение уравнений. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо решить уравнение (1), подставив в него время разгона 6 с и значение ускорения a. Однако значение ускорения нам пока не известно. Зато нам известны значения начальной и конечной скоростей автомобиля.

Следовательно, мы можем найти значение ускорения. Для этого в условие окончания разгона (3) подставим из уравнения (2) значение скорости a – t в момент t = 6 с:

Vк = a – t, a = vк/t; a = 30/6 = 5 (м/с2).

Подставив полученное значение a в уравнение (1), находим:

X = (a – t2) / 2 = (5 – 62) / 2 = 90 (м).

Ясно, что s = x – x0 = 90 – 0 = 90 (м).

Как вы заметили, в отличие от задач о равномерном движении, в шаге 4 появилось дополнение, связанное с тем, что скорость равноускоренно движущегося тела изменяется со временем. В результате появилось новое уравнение – зависимость значения скорости от времени.

Задача “Торможение”

Автобус движется со скоростью, модуль которой равен 20 м/с (72 км/ч). Водитель автобуса замечает на дороге кошку и нажимает на педаль тормоза. Определите длину тормозного пути автобуса, если модуль ускорения при торможении |a| = 4 м/с2.

скорость и ускорении при торможении

Решение.

Шаг 1. Систему отсчета выберем так, как показано на рис. 60.

Шаг 2. Начальная координата автобуса x0 = 0.

Шаг 3. Значение начальной скорости автобуса v0 = 20 м/с.

Шаг 4. С учетом шагов 1, 2 и 3 зависимость координаты автобуса от времени будет иметь вид:

X = x0 + v0 – t + (a – t2) / 2 = 0 + 20 – t – (4 – t2) / 2.

Внимание! Значение скорости автобуса уменьшается. Значит, направление вектора ускорения автобуса противоположно положительному направлению оси X. Поэтому мы подставили в формулу отрицательное значение ускорения (a = -4 м/с2).

При этом направление вектора начальной скорости совпадает с положительным направлением оси X. Поэтому значение скорости v0 положительно. Такие же знаки у величин v0 и a будут и в шаге 4*.

Шаг 4* (новый). Зависимость значения скорости от времени имеет вид:

V = v0 + a – t = 20 – 4 – t.

Видно, что при отрицательном значении ускорения a = -4 м/с2 скорость автобуса со временем уменьшается. При этом за каждую секунду значение скорости изменяется на величину -4 м/с, т. е. уменьшается на 4 м/с.

Шаг 5. Запишем условие окончания торможения: v = 0, так как в искомый момент времени t автобус должен остановиться.

Шаг 6. Объединим составленные уравнения, присвоив каждому номер и название:

X = 0 + 20 – t – (4 – t2) / 2, (1) (закон движения автобуса) v = v0 + a – t = 20 – 4 – t, (2) (зависимость скорости от времени) v = 0. (3) (условие окончания торможения)

Шаг 7. Решение уравнений. Чтобы найти тормозной путь, необходимо подставить в уравнение (1) время торможения автобуса. Эта величина нам неизвестна, но ее можно найти из уравнений (2) и (3). Для этого необходимо подставить в зависимость скорости от времени значение скорости в момент окончания торможения v = 0, после чего решить полученное уравнение:

20 – 4 – t = 0, t = 5 c.

Таким образом, автобус остановится через время t = 5 с.

Подставим найденное время торможения t = 5 с в уравнение (1) и найдем тормозной путь:

X = 20 – 5 – (4 – 52) / 2 = 50 (м).

Таким образом, длина тормозного пути автобуса равна 50 м.

Итоги Если положительное направление оси X выбрать совпадающим с направлением движения тела, то все задачи на равноускоренное движение можно свести к двум типам: 1) задача “разгон” (a > 0, скорость тела увеличивается с течением времени); 2) задача “торможение” (a Если тело меняет направление своего движения, то рассматриваемый промежуток времени нужно разделить на интервалы, в течение каждого из которых тело движется только в одном направлении.

При этом задача разделяется на несколько задач.

Упражнения

1. Заполните таблицу для разгоняющегося автомобиля, используя условия задачи 1 (“разгон”). Как изменяются со временем: значение скорости; координата разгоняющегося автомобиля? таблица зависимости скорости и координаты от времени для разгоняющегося тела

2. Заполните таблицу для тормозящего автобуса, используя условия задачи 2 (“торможение”). Ответьте на вопросы: как изменяются со временем: значение скорости; координата тормозящего автобуса? таблица зависимости скорости и координаты от времени для разгоняющегося тела

3. Найдите координату x автомобиля (см. рис. 57) в моменты времени 3, 5 и 8 с, если его начальная координата x0 = 30 м, значение начальной скорости v0 = 10 м/с, а значение ускорения a = 3 м/с2.

4. Решите задачу 2 (“торможение”) в общем виде. Представьте полученный ответ в виде s = v02 / (2 – a). Проведите анализ полученного ответа.

Определите тормозной путь автобуса, если: а) v0 = 16 м/с; б) v0 = 115,2 км/ч.

5. Найдите путь, пройденный автомобилем, движение которого задано в упражнении 3, за промежуток времени от t1 = 2 с до t2 =5 с.

6. Два мотоциклиста, двигавшиеся прямолинейно, начинают одновременно тормозить перед светофором и так же одновременно останавливаются, проехав расстояние s = 100 м. Первый мотоциклист перед торможением двигался со скоростью, имеющей значение v1 = 72 км/ч, второй – со скоростью, имеющей значение v2 = 108 км/ч. Найдите значения ускорений мотоциклистов.



Задачи “разгон” и “торможение”