Решение задач кинематики. Задача «обгон»
Рассмотрим еще одну очень важную с практической точки зрения задачу. Пусть по прямой двухполосной дороге едут грузовик с прицепом и легковой автомобиль. Модули их скоростей равны соответственно |vг| = 20 м/с и |vл| = 30 м/с.
Известно, что длина легкового автомобиля l1 = 5 м, а грузовик вместе с прицепом имеет длину l2 = 35 м. При этом легковой автомобиль, значение скорости которого больше, совершает обгон грузовика. Эта ситуация изображена на рис. 31.
Из сказанного ясно,
Моментом начала обгона (положение I) мы будем называть тот момент времени, когда самая передняя точка A («нос») легкового автомобиля поравнялась с самой задней точкой B («хвостом») прицепа грузовика. Моментом окончания обгона назовем тот момент времени, когда точка C (» хвост» ) легкового автомобиля поравняется с точкой D («носом») грузовика. Этот момент соответствует положению II на рис.
31.
Спрашивается: 1. В течение какого промежутка времени будет происходить обгон? 2. Какие расстояния проедут за время обгона легковой автомобиль и грузовик?
Чтобы ответить на поставленные вопросы, воспользуемся аналитическим методом решения кинематических задач.
Шаг 1. Введем систему отсчета (рис. 32). В качестве начала отсчета выберем камень, лежащий на обочине дороги напротив того места, где поравнялись точки A и B в момент начала обгона. Координатную ось X направим от этого камня параллельно дороге в сторону движения машин.
В качестве единицы длины выберем 1 м. Часы (секундомер) включим в момент начала обгона.
По условию задачи грузовик и легковой автомобиль имеют конкретные размеры. Поэтому мы не можем считать наши тела точечными. Значит, для описания движения этих тел надо на каждом из них выбрать конкретные точки и далее следить за движением этих точек. В качестве точки, характеризующей положение легкового автомобиля, выберем точку A (его «нос»).
Для описания положения грузовика с прицепом выберем точку D (соответственно «нос» грузовика). Теперь, если мы будем говорить, что координата легкового автомобиля равна, например, нулю, то это значит, что равна нулю координата его «носа» — точки A. А если мы скажем, что координата грузовика равна, например, сорока метрам, значит, говорится о координате «носа» грузовика — точке D. То есть мы будем следить за движением «носов» обоих движущихся тел.
Шаг 2. Определим начальные координаты точек A и D, которые характеризуют положение соответственно легкового автомобиля и грузовика с прицепом. Из рис. 32 видно, что xA0 = 0, а xD0 = l2 = 35 м. Таким образом, в момент начала обгона «нос» грузовика опережает «нос» легкового автомобиля ровно на длину грузовика с прицепом l2 = 35 м.
Шаг 3. В условии задачи даны модули скоростей легкового автомобиля и грузовика относительно дороги. При этом в выбранной системе отсчета координаты обоих тел увеличиваются. Следовательно, значения их скоростей положительны и равны соответственно vл = 30 м/с и vг = 20 м/с.
Шаг 4. Напишем зависимости координат, точек A и D, от времени в выбранной системе отсчета:
XA = xA0 + vл — t = 0 + 30 — t, xD = xD0 + vг — t = l2 + vг — t = 35 + 20 — t.
Шаг 5. Представим в виде уравнения условие окончания обгона. Если мы внимательно посмотрим на рис. 32 (положение II), то поймем, что обгон закончится в тот момент времени, когда координата «носа» легкового автомобиля xA станет больше координаты «носа» грузовика xD ровно на величину длины легкового автомобиля l1 = 5 м. Иначе говоря, «хвост» легкового автомобиля поравняется с «носом» грузовика. Значит, в момент окончания обгона (при t = tоб)
XA = xD + l1 = xD + 5.
Шаг 6. Запишем вместе полученные нами выражения, присвоив каждому из них номер и название:
XA = 0 + 30 — t, (1) (закон движения «носа» легкового автомобиля) xD = 35 + 20 — t, (2) (закон движения «носа» грузовика) xA = xD + 5. (3) (условие окончания обгона)
Шаг 7. Решение уравнений.
Для нахождения момента времени, соответствующего окончанию обгона, подставим в уравнение (3) выражения для xA и xD из уравнений (1) и (2):
0 + 30 — t = 35 + 20 — t + 5, 30 — t — 20 — t = 35 + 5, t = (35 + 5) / (30 — 20) = 4 (с).
Таким образом, через время tоб = 4 с после включения секундомера обгон будет завершен.
Найдем, какое расстояние прошел за это время «нос» легкового автомобиля (точка A). Для этого определим его координату в момент времени t = 4 с. Подставив данное значение времени в закон движения точки A, получим:
XA = 0 + 30 — t = 0 + 30 — 4 = 120 (м).
Так как начальная координата точки A xA0 = 0, «нос» автомобиля за время обгона прошел расстояние lA = 120 м.
Теперь определим, какое расстояние за время совершения обгона легковым автомобилем прошел грузовик. Для этого найдем координату его «носа» (точки D) в момент окончания обгона. Подставив значение времени окончания обгона t = 4 с в закон движения точки D, получим:
XD = 35 + 20 — 4= 115 (м).
Так как начальная координата «носа» грузовика равнялась xD0 = 35 м, то грузовик за время обгона прошел расстояние
LD = xD — xD0 = 115 — 35 = 80 (м).
Таким образом, разность пройденных «носом» легкового автомобиля (точкой A) и «носом» грузовика (точкой D) расстояний lA — lD = 120 — 80 = 40 (м), что составляет сумму длин обгоняемого и обгоняющего тел:
L1 + l2 = 5 + 35 = 40 (м).
Упражнения 1. Решите данную задачу «обгон» табличным способом. Для этого, используя записанные в шаге 4 законы движения легкового автомобиля и грузовика, заполните таблицу.
2. Используя данные, полученные в предыдущем упражнении, или законы движения тел (шаг 4), постройте графики зависимости от времени координат точек A и D, характеризующих положения легкового автомобиля и грузовика. Укажите на графике точку (время и координату), в которой завершился процесс обгона.
3. Определите, в течение какого времени автобус длиной la = 20 м, движущийся с постоянной скоростью |va| = 35 м/с, будет обгонять грузовик длиной lг = 25 м, если скорость грузовика не изменяется и равна |vг| = 30 м/с. Задачу решите: а) аналитическим; б) табличным; в) графическим способами.
4. Зависит ли время обгона грузовика легковым автомобилем от размеров (длины) этих транспортных средств? Если зависит, то как?
(1 votes, average: 5,00 out of 5)